Question

如图1，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上(直角三角板的短直角边为，长直角边为)，点在上，点在上.

(1)求重叠部分的面积；

(2)如图2，将直角三角板绕点按顺时针方向旋转30度，交于点，交于点.

①请说明：；

②在此条件下，与直角三角板重叠部分的面积会发生变化吗？请说明理由，并求出重叠部分的面积.

(3)如图3，将直角三角板绕点按顺时针方向旋转度()，交于点，交于点，则的结论仍成立吗？重叠部分的面积会变吗？(请直接写出结论，不需要说明理由)

Answer

(1)S△BCD=；(2)①证明见解析；②重叠部分的面积不变为；(3)DM＝DN的结论仍成立，重叠部分面积不会变.

【解析】

（1）重叠部分△BCD是一个等腰直角三角形，求出其直角边，即可求解；

（2）①连接BD，先证得BD＝CD，∠C＝∠NBD＝45°，进而求出△CDM≌△BDN，即可得到DM＝DN；②利用①中的结论△CDM≌△BDN即可得出答案；

（3）证明过程类似（2），根据（2）中的结论，可以直接写出．

【解析】
(1)∵AB＝BC，AC＝2，D是AC的中点，∠ABC＝90°，

∴∠BCD＝∠A＝∠CBD＝45°，BD⊥AC.

∴CD＝BD＝AC＝1.

∴S△BCD＝CD·BD＝×1×1＝.

(2)①连接BD，

∵AB＝BC，D是AC的中点，∠ABC＝90°，

∴∠C＝∠A＝∠CBD＝∠ABD＝45°，

∴BD＝CD，∠C＝∠NBD＝45°，

又∵直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度，

∴∠CDM＝∠BDN=30°，

∴△CDM≌△BDN(ASA).

∴DM＝DN.

②由①知△CDM≌△BDN，

∴S四边形BNDM＝S△BCD＝，

即此条件下重叠部分的面积不变为.

(3)DM＝DN的结论仍成立，重叠部分面积不会变.（证明过程类似（2））