Question

四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

(1)求证：AM=AD+MC．

(2)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM=AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

Answer

(1)证明见解析；(2)AM=AD+MC仍然成立．

【解析】

（1）从平行线和中点这两个条件出发，延长AE、BC交于点N，如图1（1），易证△ADE≌△NCE，从而有AD=CN，只需再证明AM=NM即可．

（2）在图2（1）中，仿照（1）中的证明思路即可证到AM=AD+MC仍然成立.

(1)证明：延长AE、BC交于点N，如图1(1)

∵四边形ABCD是正方形

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠ENC．

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE．

∴∠ENC=∠MAE．

∴MA=MN．

在△ADE和△NCE中，

∴△ADE≌△NCE(AAS)

∴AD=NC．

∴MA=MN=NC+MC

=AD+MC．

(2)结论AM=AD+MC仍然成立．

证明：延长AE、BC交于点P，如图2(1)，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠EPC．

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠MAE．

∴∠EPC=∠MAE．

∴MA=MP．

在△ADE和△PCE中，

∴△ADE≌△PCE(AAS)．

∴AD=PC．

∴MA=MP=PC+MC

=AD+MC．