Question

已知：关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0

（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；

（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer

（1）详见解析；（2）△ABC的周长为5．

【解析】

（1）先计算出△＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；

（2）分类讨论：当b＝c时，△＝0，则k＝2，再把k代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当b＝a＝1或c＝a＝1时，把x＝1代入方程解出k＝1，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．

（1）证明：△＝（k+2）2﹣4•2k＝（k﹣2）2，

∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，

∴无论取任何实数值，方程总有实数根；

（2）【解析】
当b＝c时，△＝（k﹣2）2＝0，则k＝2，

方程化为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2，

∴△ABC的周长＝2+2+1＝5；

当b＝a＝1或c＝a＝1时，

把x＝1代入方程得1﹣（k+2）+2k＝0，解得k＝1，

方程化为x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，

不符合三角形三边的关系，此情况舍去，

∴△ABC的周长为5．

故答案为：（1）详见解析；（2）△ABC的周长为5．