Question

感知：如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，点P在BC边上，当∠APD=90°时，可知△ABP∽△PCD．（不要求证明）

探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上，当∠B=∠C=∠APD时，求证：△ABP∽△PCD．

拓展：如图③，在△ABC中，点P是边BC的中点，点D、E分别在边AB、AC上．若∠B=∠C=∠DPE=45°，BC=4，CE=3，则DE的长为______．

Answer

探究：成立；拓展：．

【解析】

感知：先判断出，∠BAP=∠DPC，进而得出结论；

探究：同理根据两角相等相等，两三角形相似，进而得出结论；

拓展：利用相似三角形△BDP∽△CPE得出比例式求出BD，三角形内角和定理证得AC⊥AB且AC=AB；然后在直角△ABC中由勾股定理求得AC=AB=6；最后利用在直角△ADE中利用勾股定理来求DE的长度．

感知：∵∠APD=90°，

∴∠APB+∠DPC=90°，

∵∠B=90°，

∴∠APB+∠BAP=90°，

∴∠BAP=∠DPC，

∵AB∥CD，∠B=90°，

∴∠C=∠B=90°，

∴△ABP∽△DCP．

探究：∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠CPD，

∴∠BAP+∠B=∠APD+∠CPD．

∵∠B=∠APD，

∴∠BAP=∠CPD．

∵∠B=∠C，

∴△ABP∽△PCD，

拓展：同探究的方法得出，△BDP∽△CPE，

∴，

∵点P是边BC的中点，

∴BP=CP=3，

∵CE=4，

∴，

∴BD=，

∵∠B=∠C=45°，

∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=90°，

即AC⊥AB且AC=AB=6，

∴AD=AB﹣BD=6﹣=，AE=AC﹣CE=6﹣4=2，

在Rt△ADE中，DE=．

故答案是：．