Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的横坐标是一元二次方程x²+2x-3=0的两根（AO＞OC），直线AB与y轴交于D，D点的坐标为

（1）求直线AB的函数表达式；

（2）在x轴上找一点E，连接EB，使得以点A、E、B为顶点的三角形与△ABC相似（不包括全等），并求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，点P、Q分别是AB和AE上的动点，连接PQ，点P、Q分别从A、E同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，两点停止运动，设运动时间为t秒，问几秒时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．

Answer

（1）（，0）（2）y=x+（3）t=时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似

【解析】

（1）由题意可求点A，点C的坐标，用待定系数法可求直线AB的函数表达式；

（2）由题意可求点B的坐标，即可求AC，BC，AB的长，由Rt△ABC∽Rt△AEB，可得，可求AE的长，即可求点E的坐标；

（3）分△APQ∽△ABE，△APQ∽△AEB两种情况讨论，可求t的值．

解:∵点A、C的横坐标是一元二次方程x2+2x-3=0的两根

∴点A、C的横坐标分别为-3，1

∴点A（-3，0），点C（1，0）

设直线AB解析式：y=kx+，且过点A

∴0=-3k+

∴k=

∴直线AB解析式：y=x+

（2）如图：过B作BE⊥AB交x轴于E，

当x=1时，则y=+=3

∴点B（1，3）

∴AC=4，BC=3

∴AB=5

∵Rt△ABC∽Rt△AEB

∴

∴

∴AE=

∴OE=-3=

∴点E（，0）

（3）由题意可得：AP=t，AQ=-t

如图：

若△APQ∽△ABE

∴

∴

∴t=

如图：

若△APQ∽△AEB

∴

∴

∴t=

综上所述：t=时以点A、P、Q为顶点的三角形与△AEB相似．