Question

如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点A₁，

（1）分别计算：当∠A分别为70⁰、80⁰时，求∠A₁的度数.

（2）根据（1）中的计算结果，写出∠A与∠A₁之间的数量关系___________________.

（3）∠A₁BC的角平分线与∠A₁CD的角平分线交于点A₂，∠A₂BC的角平分线与∠A₂CD的角平分线交于点A₃，如此继续下去可得A₄，…，∠A_n，请写出∠A₅与∠A的数量关系_________________.

（4）如图2，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时，有下面两个结论：①∠Q+∠A₁的值为定值；②∠D-∠A₁的值为定值.

其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值.

Answer

（1）∠A1=350 和∠A1=400;（2）∠A=2∠A1;（3）∠A5=∠A;（4）①的结论是正确的，∠Q+∠A1=1800

【解析】

（1）由三角形的外角性质易知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，而∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1，可得∠A1=（∠ACD-∠ABC）=∠A

（2）根据（1）可得到∠A=2∠A1

（3）根据（1）可得到∠A2=∠A1=∠A，∠A3=∠A2=∠A，…依此类推，∠An=∠A，根据这个规律即可解题.

（4）用三角形的外角性质求解，易知2∠A1=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE），利用三角形内角和定理表示出∠QEC+∠QCE，即可得到∠A1和∠Q的关系．

【解析】
（1）∵A1C、A1B分别是∠ACD、∠ABC的角平分线

∴∠A1BC= ∠ABC，∠A1CD=∠ACD

由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，即：

∠A1=（∠ACD-∠ABC）=∠A；

当∠A=70°时，∠A1=35°；当∠A=80°，∠A1=40°．

（2）由（1）可知∠A1==∠A

即∠A=2∠A1

（3）同（1）可求得：

∠A2=∠A1=∠A，

∠A3=∠A2=∠A，

…

依此类推，∠An=∠A；

当n=5时，∠A5=∠A=∠A

（4）△ABC中，由三角形的外角性质知：∠BAC=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE）；

即：2∠A1=2（180°-∠Q），

化简得：∠A1+∠Q=180°

故①的结论是正确的，且这个定值为180°.