Question

如图，以等边的边为直径画半圆，分别交边，于点，，是半圆的切线，交于点，若的长为1，则的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

Answer

A

【解析】

连接OD，由DF为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于DF，根据三角形ABC为等边三角形，利用等边三角形的性质得到三条边相等，三内角相等，都为60°，由OD=OC，得到三角形OCD为等边三角形，进而得到OD平行与AB，由O为BC的中点，得到D为AC的中点，在直角三角形ADF中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，进而求出AC的长，即为AB的长，由AB-AF求出FB的长，在直角三角形FBG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出BG的长，再利用三角函数即可求出FG的长．最后用三角形的面积公式即可．

如图，连接OD，过点F作FG⊥BC，

∵DF为圆O的切线，

∴OD⊥DF，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°，

∵OD=OC，

∴△OCD为等边三角形，

∴∠CDO=∠A=60°，∠ABC=∠DOC=60°，

∴OD∥AB，

∴DF⊥AB，

在Rt△AFD中，∠ADF=30°，AF=1，

∴AD=2AF=2，

∴AC=4，即：BC=AC=4，

∴FB=AB-AF=4-1=3，

在Rt△BFG中，∠BFG=30°，

∴cos∠BFG=，

∴FG=BF=．

∴S△FBC=BC×FG=×4×=3，

故选A．