Question

如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若∠A=30°，AB=8，F是OB的中点，连接DF并延长交⊙O于G，求弦DG的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）DG=4．

【解析】

（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可．

（2）连接BD，证得△ODB是等边三角形后即可得到FD=FG，然后在Rt△BDF中选择合理的边角关系求得DF，进而求得DG的长即可．

（1）证明：连接OD．

∵OA=OD，∴∠A=∠1．

∵BA=BC，∴∠A=∠C．

∴∠1=∠C．

∵DE⊥BC，垂足为E，

∴∠2+∠C=90°．

∴∠1+∠2=90°．

∴∠ODE=90°．

∵点D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切线．

（2）连接BD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

∵∠A=30°，AB=8，

∴DB=4，∠ABD=60°．

∵OD=OB，

∴△ODB是等边三角形．

∵F是OB的中点，

∴DG⊥AB．

∴FD=FG．

在Rt△BDF中，∠ABD=60°．

∴DF=BD•sin60°=2．

∴DG=4．