Question

如图，在矩形纸片中，，，把沿对角线折叠，点落在处，交于点。再次折叠，使点与点重合，为折痕，点在上，点在上，交于点.

（1）求的值；

（2）求的长.

Answer

（1）；（2）的长为.

【解析】

（1）根据翻折变换的性质可知∠C=∠BAG=90°，PD=AB=CD，∠AGB=∠DGP，故可得出.，可知GD=GB，故AG+GB=AD，设AG=x，则GB=8-x，在Rt△ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，进而得出tan∠ABG的值；

（3）由△AEF是△DEF翻折而成可知EF垂直平分AD，故HD=AD=4，再根据tan∠ABG即可得出EH的长，同理可得HF是△ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出结论．

（1）证明：∵△BDP由△BDC翻折而成，

∴∠P=∠BAG=90°，PD=AB=CD，∠AGB=∠DGP，

∴∠ABG=∠ADE，

在△ABG与△C′DG中，

∵，

∴△ABG≌△C′DG（AAS）；.

.

设，则.

在中，可得.

解得，.

.

（2）易得垂直平分，所以.

由，可得.

，解得.

易得是的中位线，所以.

的长为.