Question

小刘同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，在中，，，；在中，，，.图①是小刘同学所做的一个数学探究：他将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动.在移动过程中，、两点始终在边上（移动开始时点与点重合）.

（1）在沿方向移动的过程中，小刘发现：、两点间的距离逐渐    ；连接后，的度数逐渐     .（填“不变”、“变大”或“变小”）；

（2）小刘同学经过进一步地研究，编制了如下问题：

问题①：如图②，当、的连线与平行时，求平移距离的长；

问题②：如图③，在的移动过程中，的值是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.

Answer

（1）变小；变大；（2）问题①：时，； 问题②：的值为定值. . 理由见解析.

【解析】

（1）根据题意，观察图形，即可得解.

（2）①因为∠B=90°，∠A=30°，BC=6，所以AC=12，又因为∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4，所以DF=4，连接FC，设FC∥AB，则可求证∠FCD=∠A=30°，故AD的长可求；

②连接BD、BE，作BH⊥AC于H，根据正弦的概念求出BH的长，求出△BDE的面积，根据S△ADB+S△CEB=△ABC的面积-△BDE的面积计算即可．

（1）变小；变大；

（2）问题①；当时，，

∴在中，，

∵在中，，

∴

∴，

∴时，；

问题②：的值为定值..

理由如下：

如图2，作于，

∵，，，

∴

∴，

∴的面积为：，

∴