Question

如图①，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A，B的坐标分别为（5，0），（9，0），点D是x轴正半轴上一个动点，连接CD，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE．

（Ⅰ）直接写出点C的坐标，并判断△CDE的形状，说明理由；

（Ⅱ）如图②，当点D在线段AB上运动时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长及此时点D的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）当△BDE是直角三角形时，求点D的坐标．（直接写出结果即可）

   

Answer

（Ⅰ）C，△CDE是等边三角形；（Ⅱ）存在；；D（7，0）；（Ⅲ）D（1，0）或（13，0）．

【解析】

（1）如图1，过点C作CH⊥x轴于点H，由△ABC是等边三角形易得AH=AB=2，结合AC=AB=4、OA=5，可得CH=，OH=7，由此即可得到点C的坐标；由旋转的性质可知CE=CD，结合旋转角∠DCE=60°可知△CDE是等边三角形；

（2）如图2，由（1）可知△CDE是等边三角形，由此可得DE=CD，由△CDE是由△CAD绕点C旋转得到的，由此可得BE=AD，从而可得△BDE的周长=BD+BE+DE=BD+AD+CD=AB+CD=4+CD，由此可知，当CD⊥AB时，CD最小，此时△BDE的周长最小，由（1）可知，此时CD=，OD=7，即当点D的坐标为（7，0）时，△BDE的周长最小，最小值为；

（3）如图3，由∠CBE=∠CAD=120°可得∠ABC=60°，由此可得∠DBE=60°≠90°，结合△BDE是直角三角形，可知：存在①∠BED=90°；②∠BDE=90°（如图3，∠BD'E'=90°）两种情况，分两种情况画出符合要求的图形，并结合已知条件进行分析计算即可.

（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，

∵△ABC是等边三角形，CH⊥AB于点H，

∴∠AHC=90°，AH=AB=（9﹣5）=2，

∴OH=OA+AH=7，

∵AC=AB=4，

∴在Rt△ACH中，CH=，

∴ C；

∵△CBE是由△CAD绕点C逆时针旋转60°得到的，

∴∠DCE=60°，DC=EC，

∴△CDE是等边三角形；

（Ⅱ）存在，理由如下：如图2，由（Ⅰ）知，△CDE是等边三角形，

∴DE=CD，

由旋转知，BE=AD，

∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE=4+CD，

由垂线段最短可知，CD⊥AB于D时，△BDE的周长最小，此时，由（1）可知CD=2，OD=7，

∴△BDE的周长最小值为4+2，点D（7，0）；

（Ⅲ）如图3，

∵由旋转知，∠CBE=∠CAD=120°，

∵∠ABC=60°，

∴∠DBE=60°≠90°，

∵△BDE是直角三角形，

∴存在∠BED=90°或∠BDE=90°（如图3，∠BD'E'=90°）两种情况，

①当∠BED=90°时，

∵△CDE是等边三角形，

∴∠CED=60°，

∴∠BEC=30°，

∵∠CBE=∠CAD=120°，

∴∠BCE=30°，

∴BE=BC=AB=4，

在Rt△BDE中，∠DBE=∠CBE﹣∠ABC=60°，

∴BD=2BE=8，

∵OB=9，

∴OD=OB﹣BD=1，

∴D（1，0），

②当∠BD'E'=90°时，

∵△CD'E'是等边三角形，

∴∠CD'E'=60°，

∴∠BD'C=30°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BCD'=30°=∠BD'E，

∴BD'=BC=6，

∵OB=9，

∴OD'=OB+BD'=13，

∴D'（13，0），

即：存在点D使△BDE是直角三角形，此时点D的坐标分别为：（1，0）或（13，0）．