Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，与轴相交于、两点，且点在点的右侧，设抛物线的顶点为.

（1）若点与点关于直线对称，求的值；

（2）若，求的面积；

（3）当时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为，求出与的关系；若有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值.

Answer

（1）2；（2）；（3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，有最小值，最小值为1.

【解析】

（1）由点B与点C关于直线x=1对称，可得出抛物线的对称轴为直线x=1，再利用二次函数的性质可求出b值；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，结合OA=OB可得出点B的坐标，由点B的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，利用配方法可求出点P的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△BCP的面积；

（3）分b＜-2，-2≤b≤0，0＜b≤2，b＞2四种情况考虑，利用二次函数图象上点的坐标特征结合二次函数的图象找出h关于b的关系式，再找出h的最值即可得出结论．

【解析】

（1）y=x（x-b）-=x2-bx-，

∵点B与点C关于直线x=1对称，

∴=1，

解得：b=2．

（2）当x=0时，y=x2-bx-=-，

∴点A的坐标为（0，-），

∴，

∵，

∴或，

当在上时，，

∴.

∴，

∴，，

∴.

当在上时，

∵点在点右侧，

∴不符合题意.

综上所述可得，.

此时抛物线的顶点纵坐标为.

∴.

（3）抛物线的对称轴为直线，

①当即时，

最高点纵坐标为，

最低点纵坐标为，

∴，当时，.

②当即时，

最高点纵坐标为，

最低点纵坐标为，

∴，

∴当时，有最大值4，

当时，有最小值1.

③当即时，

最高点纵坐标为，

最低点纵坐标为，

∴，

当时.

④当即时，

最高点纵坐标为，

最低点纵坐标为，

∴，当，即.

综上所述

当时，；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，有最小值，最小值为1.