Question

如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点在抛物线上，且，求点的坐标；

（3）如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求线段长度的最大值，并求出面积的最大值.

Answer

（1）；（2）符合条件的点的坐标为：或或；（3）面积的最大值为.

【解析】

（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；
（2）设P点坐标为（x，-x2-2x+3），根据S△AOP=4S △BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+3，再设Q点坐标为（x，x+3），则D点坐标为（x，x2+2x-3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值,再根据求得最大面积．

（1）把，代入，得

，解得.

故该抛物线的解析式为：.

（2）由（1）知，该抛物线的解析式为，则易得.

∵，

∴.

整理，得或，

解得或.

则符合条件的点的坐标为：或或；

（3）设直线的解析式为，将，代入，

得， 解得.

即直线的解析式为.

设点坐标为，，则点坐标为，

，

∴当时，有最大值.

此时，

∴面积的最大值为.