Question

探究题：

（一）小明在玩积木时，把三个正方体积木摆成一定的形状，正面看如图①所示：

（1）若图中的△DEF为直角三角形，∠DEF=90°，正方形P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方形M的面积为________；

（2）若P的面积为36cm²，Q的面积为64cm²，同时M的面积为100cm²，则△DEF为________三角形．

（二）图形变化：如图②，分别以直角三角形ABC（∠ACB=90°）的三边为直径向三角形外作三个半圆，你能找出这三个半圆的面积S₁、S₂、S₃之间有什么关系吗？请说明理由．

Answer

（一）（1）24，（2）直角；（二） S1＋S2＝S3，见解析.

【解析】

（一）直接根据勾股定理及正方形的性质进行解答；
（二）根据勾股定理得出AB2=AC2+BC2，再根据圆的面积公式得出S1、S2、S3的表达式，找出其中的关系即可．

(一)、

（1）M的面积为：24．
（2）△DEF为直角三角形．

(二)、S1＋S2＝S3 理由如下：

∵△ABC是直角三角形，

∴AC2＋BC2＝AB2

∵S1＝π·(AC)2＝ πAC2，

S2＝π·(BC)2＝πBC2，

S3＝π·(AB)2＝πAB2，

∴S1＋S2＝πAC2＋πBC2＝π(AC2＋BC2)＝πAB2，

∴S1＋S2＝S3。