Question

在菱形中，,点是射线上一动点，以为边向右侧作等边，点的位置随点的位置变化而变化.

（1）如图1，当点在菱形内部或边上时，连接，与的数量关系是         ，与的位置关系是                    ；

（2）当点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，

请说明理由(选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理).   

(3) 如图4，当点在线段的延长线上时，连接，若 , ,求四边形的面积.         

Answer

（1）BP=CE； CE⊥AD；（2）成立，理由见解析；（3） .

【解析】（1）①连接AC，证明△ABP≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得BP=CE；②根据菱形对角线平分对角可得，再根据△ABP≌△ACE，可得，继而可推导得出 ，即可证得CE⊥AD；

（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，利用（1）的方法进行证明即可；

（3）连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE的长，AP长，由△APE是等边三角形，求得， 的长，再根据，进行计算即可得.

（1）①BP=CE，理由如下：

连接AC，

∵菱形ABCD，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵△APE是等边三角形，

∴AP=AE ，∠PAE=60° ，

∴∠BAP=∠CAE，

∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE；

②CE⊥AD ，

∵菱形对角线平分对角，

∴，

∵△ABP≌△ACE，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴ ，

∴CF⊥AD ，即CE⊥AD；

（2）(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：

连接AC，

∵菱形ABCD，∠ABC=60°，

∴△ABC和△ACD都是等边三角形，

∴AB=AC，∠BAD=120° ，

∠BAP=120°＋∠DAP，

∵△APE是等边三角形，

∴AP=AE ， ∠PAE=60° ，

∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP，

∴∠BAP=∠CAE，

∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，，

∴∠DCE=30° ，∵∠ADC=60°，

∴∠DCE＋∠ADC=90° ， ∴∠CHD=90° ，∴CE⊥AD，

∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD 仍然成立；

(3) 连接AC交BD于点O，CE，作EH⊥AP于H，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BD平分∠ABC ，

∵∠ABC=60°，，

∴∠ABO=30° ，∴ ， BO=DO=3，

∴BD=6，

由(2)知CE⊥AD，

∵AD∥BC，∴CE⊥BC，

∵ ， ，

∴，

由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5，

∴，

∵△APE是等边三角形，∴ ， ，

∵，

∴，

=

=

=，

∴四边形ADPE的面积是 .