Question

如图1，在平面直角坐标系中，A(a,0)，C(b,4)，且满足(a+4)²+=0，过C作CB⊥x轴于B。

（1）求三角形ABC的面积；

（2）如图2，若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，求∠AED的度数；

（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ACP和三角形ABC的面积相等?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由

Answer

（1）S三角形ABC=16；（2）∠AED==45°；（3）存在，P点的坐标为（0，﹣2）或（0，6）.

【解析】

（1）根据非负数的性质易得a=-4，b=4，然后根据三角形面积公式计算；
（2）过E作EF∥AC，根据平行线性质得BD∥AC∥EF，且∠3=∠CAB=∠1，∠4=∠ODB=∠2，所以∠AED=∠1+∠2=（∠CAB+∠ODB）；然后把∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=90° 代入计算即可．

（3）分类讨论：设P（0，t），当P在y轴正半轴上时，过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，利用S△APC=S梯形MNAC-S△ANP-S△CMP=8可得到关于t的方程，再解方程求出t.

【解析】
（1）∵

∴a+4=0，b﹣4=0，

∴a=﹣4，b=4，

∴A（﹣4，0），C（4，4）．

∵CB⊥AB，∴B（4，0），

∴AB=8，CB=4，则S三角形ABC=×8×4=16．

（2）如图甲，过E作EF∥AC．

∵CB⊥x轴，

∴CB∥y轴，∠CBA=90°，

∴∠ODB=∠6．

又∵BD∥AC，

∴∠CAB=∠5，

∴∠CAB+∠ODB=∠5+∠6=180°﹣∠CBA=90°．

∵BD∥AC，

∴BD∥AC∥EF，

∴∠1=∠3，∠2=∠4．

∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，

∴∠3=∠CAB，∠4=∠ODB，

∴∠AED=∠1+∠2=∠3+∠4=（∠CAB+∠ODB）=45°．

（3）①当P在y轴正半轴上时，如图乙．

设点P（0，t），分别过点P，A，B作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，交于点M，N，则AN=t，CM=t﹣4，MN=8，PM=PN=4．

∵S三角形ABC=16，

∴S三角形ACP=S梯形MNAC﹣S三角形ANP﹣S三角形CMP=16，

∴×8（t﹣4+t）﹣×4t﹣×4（t﹣4）=16，解得t=6，即点P的坐标为（0，6）．

②当P在y轴负半轴上时，如图丙，同①作辅助线．

设点P（0，a），则AN=﹣a，CM=﹣a+4，PM=PN=4．

∵S三角形ACP=S梯形MNAC﹣S三角形ANP﹣S三角形CMP=16，

∴×8（﹣a+4﹣a）﹣×4•（﹣a）﹣×4（4﹣a）=16，

解得a=﹣2，

∴点P的坐标为（0，﹣2）．

综上所述，P点的坐标为（0，﹣2）或（0，6）．