Question

如图所示，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在该圆内，将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为______．

Answer

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【解析】

因为正方形的边长为2，圆的半径为2，正方形ABCD沿圆的内壁作无滑动的滚动．当滚动一周回到原位置时，正方形总共转动了6次，点C运动的路径是以AC为半径，旋转两次的弧长和以正方形的边长为半径旋转3次的弧长的和（还有一次点C在圆上，为旋转直中心），

如图，分别连接OA、OB、OD′、OC、OC′；

∵OA=OB=AB，

∴△OAB是等边三角形，

∴∠OAB=60°；

同理可证：∠OAD′=60°，

∴∠D′AB=120°；

∵∠D′AB′=90°，

∴∠BAB′=120°-90°=30°，

由旋转变换的性质可知∠C′AC=∠B′AB=30°；

∵四边形ABCD为正方形，且边长为2，

∴∠ABC=90°，AC= ，

∴当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为：．

由上面的计算过程可知，每次的旋转角都为30°，

所以，点C运动的路径为：.