Question

如图，一块∠BAC为30°的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点E在量角器的圆弧边缘处从A到B运动，连接CE，交直径AB于点D．

(1)当点E在量角器上对应的刻度是90°时，则∠ADE的度数为______；

(2)若AB=8，P为CE的中点，当点E从A到B的运动过程中，点P也随着运动，则点P所走过的路线长为______．

Answer

75° 2π

【解析】

(1)连接OE．根据∠ACE=∠AOE=45°，∠ADE=∠A+∠ACE求解即可；

(2)连接OP，设OC的中点为O′．由PE=PC，推出OP⊥EC，推出∠OPC=90°，推出点P的运动轨迹是以OC为直径的半圆，由此即可解决问题；

【解析】
(1)如图，连接OE．

∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，

∴点A，E，B，C共圆，

∵点E对应的刻度是90°，

∴∠AOE=90°，

∴∠ACE=∠AOE=45°，

∴∠ADE=∠A+∠ACE=75°．

故答案为75°．

(2)连接OP，设OC的中点为O′．

∵PE=PC，

∴OP⊥EC，

∴∠OPC=90°，

∴点P的运动轨迹是以OC为直径的半圆，

∵OC=AB=4，

∴OO′=OC=2，

∴点P的运动路径的长为π•2=2π，

故答案为2π