Question

定义：点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离．例如，如图1，正方形ABCD满足A(1，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(1，1)，那么点O(0，0)到正方形ABCD的距离为1．

(1)如果⊙P是以(3，4)为圆心，2为半径的圆，那么点O(0，0)到⊙P的距离为______；

(2)①求点M(3，0)到直线了y=x+4的距离；

②如果点N(0，a)到直线y=x+4的距离为2，求a的值；

(3)如果点G(0，b)到抛物线y=x²的距离为3，请直接写出b的值．

Answer

（1）3（2）①②或（3）﹣3或

【解析】

根据勾股定理可得点O（0，0）到 P的距离；

①过点M作M′M⊥l，垂足为点M′，由直角三角形的性质可得M′M＝MA •sin∠M′AM＝6×＝，从而得到点M到直线的距离；
②分两种情况：N在l的上边；N在l的下边；进行讨论先得到BN的长，进一步即可得到a的值；

分两种情况：①点G在原点下面；②点G在原点上面；进行讨论即可得到b的值．

（1）连接OP交圆于点Q，

由题意得：OQ为点O（0，0）到⊙P的距离，

点P（3，4）则OP＝5，则PQ＝5﹣2＝3，

故答案是3；

（2）①如下图所示，设：直线为l的方程为：y＝x+4，

直线与x轴、y轴交点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），tan∠M′AM＝，

过点M作M′M⊥直线l，则M′M为M到直线l的距离，

M′M＝MA •sin∠M′AM＝6×＝，

②由题意得：当N在直线l下方时，

N′N＝2，BN＝＝，

则a＝4﹣＝，

当N在直线l上方时，a＝则a＝4+ ＝，

即a＝或；

（3）当G在原点下方时，b＝﹣3，

当G在原点上方时，，

整理得：x4+（1﹣2b）x2+b2﹣9＝0，

△＝（1﹣2b）2﹣4（b2﹣9）＝0，

解得：b＝，

故b＝﹣3或．