Question

如图1中，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点E为腰AB上任意一点，以CE为底边作等腰△DEC．且∠BAC=∠EDC=α，连结AD：

(1)如图2中，当α=60°时，∠DAC=______，=______；

(2)如图3中，当α=90°时，求∠DAC的度数与的值；

(3)如图1中，当BC=AC．∠DAC=___(用α的代数式表示)=___．

Answer

(1)60°，1；(2)∠DAC=45°，=(3)180°-2α，.

【解析】

(1)由三角形ABC与三角形CDE都为正三角形，得到AB=AC，CE=CD，以及内角为60°，利用等式的性质得到∠ECB=∠DCA，利用SAS得到三角形ECB与三角形DCA全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AD，即可求出所求之比；

(2)由三角形CDE与三角形ABC都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到CE=CD，BC=AC，以及锐角为45°，利用等式的性质得到∠ECB=∠DCA，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形ECB与三角形DCA相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出所求之比；

(3)仿照前两问，以此类推得到一般性规律，求出所求之比即可．

【解析】
(1)∵△ABC和△CDE都是正三角形，

∴∠B=∠ACB=∠DCE=60°，AB=AC，CE=DC，

∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=60°-∠ACE，

∠DCA=∠DCE-∠ACE=60°-∠ACE，

∴∠ECB=∠DCA，

在△ECB和△DCA中，

，

∴△ECB≌△DCA(SAS)，

∴BE=AD，∠B=∠DAC=60°，

则=1；

故答案为：60°；1；

(2)∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，

∴∠B=∠ACB=∠DCE=45°，CE=DC，BC=AC，

∴，

∵∠ECB=∠ACB-∠ACE=45°-∠ACE，

∠ACD=∠DCE-∠ACE=45°-∠ACE，

∴∠ECB=∠DCA，

∴△ECB∽△DCA，

∴∠B=∠DAC=45°，

∴；

(3)依此类推，当BC=AC时，，理由为：

∵等腰△ABC和等腰△CDE中，

∴∠B=∠ACB=∠DCE，CE=DC，BC=AC，

∴，

∵∠ECB=∠ACB-∠ACE，∠ACD=∠DCE-∠ACE，

∴∠ECB=∠DCA，

∴△ECB∽△DCA，

∴∠B=∠DAC=180°-2α，

∴．

故答案为：180°-2α；．