Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点．

(1)求抛物线相应的函数表达式；

(2)点M是线段BC上的点(不与B、C重合)，过M作MN∥y轴交抛物线于N，连接NB．若点M的横坐标为t，是否存在t，使MN的长最大？若存在，求出sin∠MBN的值；若不存在，请说明理由；

(3)若对一切x≥0均有ax²+bx+c≤mx-m+13成立，求实数m的取值范围．

Answer

(1)y=-x2+2x+3；(2)存在，sin∠MBN=；(3)-6≤m≤10．

【解析】

(1)用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

(2)先求出直线BC的解析式，设M(t，-t+3)，N(t，-t2+2t+3)，得出MN是t的二次函数，即可求出MN的最大值；延长NM交OB于E，证出△BME为等腰直角三角形，求出BE、BM、BN，过点M作△BNM的高MH，则∠MHB=∠MHN=90°，设BH=x，根据勾股定理求出BH，再由勾股定理求出MH，即可求出sin∠MBN；

(3)令y1=-x2+2x+3；y2=mx-m+13，得直线y2=mx-m+13过点(1，13)；当y1=y2时，-x2+2x+3=mx-m+13，得出△=m2-36=0，求出m的值，当直线y2=mx-m+13过点C时，m=10，结合图象即可得出m的取值范围．

【解析】
(1)根据题意得：

解得：a=-1，b=2，c=3，

∴抛物线的函数表达式为：y=-x2+2x+3；

(2)存在；理由如下：设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B(3，0)、C(0，3)代入得：，

解得：k=-1，b=3，

∴直线BC的解析式为：y=-x+3，

设M(t，-t+3)，N(t，-t2+2t+3)，

则MN=(-t2+2t+3)-(-t+3)=-t2+3t=-(t-)2+；

∵-1＜0，

∴MN由最大值，

当t=时，MN的最大值为；

此时M(，)，N(，)，

∴MN=-=，

∵B(3，0)、C(0，3)，

∴OB=OC=3，

∵∠BOC=90°，

∴∠OBC=45°，

延长NM交OB于E，如图1所示：

则ME⊥OB，

∴△BME为等腰直角三角形，

∴∠MBE=45°，

∵BE=3-=，

∴BM=BE=；

BN===；

过点M作△BNM的高MH，则∠MHB=∠MHN=90°，

∵MH2=BM2-BH2=MN2-NH2，

设BH=x，则NH=-x，

∴()2-x2=()2-(-x)2，

解得：x=，

∴BH=，

∴MH==；

∴sin∠MBN==；

(3)令y1=-x2+2x+3； y2=mx-m+13，

∵x=1时，y2=13，

∴直线y2=mx-m+13过点(1，13)，

当y1=y2时，-x2+2x+3=mx-m+13，

整理得：x2+(m-2)x-m+10=0，

△=(m-2)2-4×1×(-m+10)=m2-36=0，

解得：m=-6，或m=6，

当直线y2=mx-m+13过点C时，m=10，

由图象可知(如图2所示)，

当-6≤m≤10时，均有y1≤y2，

∴m的取值范围为：-6≤m≤10．