Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．

(1)求证：DF⊥AC；

(2)若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，请直接写出弧AE的长．

Answer

(1)证明见解析；(2)．

【解析】

(1)连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；

(2)连接OE，利用(1)的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用弧长公式即可得出结论．

(1)证明：如图，连接OD，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC，

∵过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F，

∴DF⊥OD，

∴DF⊥AC．

(2)【解析】
如图，连接OE，

∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，

∴∠ABC=∠ACB=67.5°，

∴∠BAC=45°，

∵OA=OE，

∴∠AOE=90°，

∵⊙O的半径为4，

∴弧AE的长为．