Question

如图①，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C．过点P作PD⊥AB于点D，将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A'DP．设点P的运动时间为x(s)．

(1)求点A'落在边BC上时x的值．

(2)设△A'DP和△ABC重叠部分图形周长为y(cm)，求y与x之间的函数关系式．

(3)如图②，另有一动点Q与点P同时出发，在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C．过点Q作QE⊥AB于点E，将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B'EQ．连结A′B′．当直线A'B'与△ABC的边垂直或平行时，直接写出x的值．

Answer

(1)x=；(2)y=12x(0＜x≤)，y=-x+12(＜x≤)；(3)x=或或或.

【解析】

(1)利用锐角三角函数的意义直接求出；

(2)由(1)计算可得，分两种情况用锐角三角函数的意义求【解析】
①当0＜x≤时，y=12x，当＜x≤时，y=12-x；

(3)分四种情形画出图形分别求解即可解决问题．

【解析】
(1)如图1，

∵∠C=90°，AC=8厘米，BC=6厘米，

∴AB=10(cm)，

∴cosA=，sinA=，tanA=，

设AP=5x，

∴PA′=AD=APcos∠A=×5x=4x，CP=8-5x，

∴cos∠CPA′=cos∠A===，

∴x=，

(2)①当0＜x≤，如图2，

∴PA′=AD=APcosA=3x，

∴A′D=AP=5x，

∴y=4x+3x+5x=12x，

②当＜x≤时，如图3

∴PE===，

DF=DB×cosA=8-x，

∴y=3x++8-x+x-6=12-x，

即：当0＜x≤时，y=12x，

当＜x≤时，y=-x+12；

(3)同(1)一样有，sinB=，cosB=，tanB=，

①当A′B′⊥AB时，如图6，

∴DH=PA'=AD=4x，HE=B′Q=EB=3x，

∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=10，

∴x=，

∴A′B′=QE-PD=4x-3x=x=．

②当A′B′⊥BC时，如图7，

∴B′E=5x，DE=10-7x，

∴cosB==，

∴x=．

③当A′B′⊥AC时，如图8，

DA'=PA=5x，DE=×5x=x，

∴4x+x+3x=10，

∴x=．

④当Q，P都到达C后，如图9，

∵A′B′∥AB且AB=A′B′=10，

此时x=s．