Question

定义：在平面直角坐标系中，将点P绕点T(t，0)(1＞0)旋转180°得到点Q，则称点Q为点P的“发展点”．

(1)当t=2时，点(0，0)的“发展点”坐标为______，点(-1，-1)的“发展点”坐标为______．

(2)若t＞3，则点(3，4)的“发展点”的横坐标为______(用含t的代数式表示)．

(3)若点P在直线y=2x+6上，其“发展点”Q在直线y=2x-8上，求点T的坐标．

(4)点P(3，3)在抛物线y=-x²+k上，点M在这条抛物线上，点Q为点P的“发展点”．若△PMQ是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，求t的值．

Answer

（1）（4，0），（5，1）；（2）2t-3；（3）点T的坐标为（，0）；（4）t= 或t=7．

【解析】

（1）、（2）利用数形结合的思想和中心对称的性质求解；

（3）先确定直线y=2x+6与x轴的交点坐标为（-3，0），直线y=2x-8与x轴的交点坐标为（4，0），利用“发展点”的定义列方程t-（-3）=4-t，然后解方程即可得到T点坐标；

（4）先把（2，2）代入y=-x2+k中求出k得到抛物线解析式为y=-x2+6，利用点Q为点P的“发展点”得到点T为PQ的中点，再根据等腰直角三角形的性质得到△PTM为等腰直角三角形，讨论：当0＜t≤2时，把P点绕T点顺时针旋转90°得到点M，利用旋转的性质易得M（t+2，t-2），然后M点的坐标代入y=-x2+6得-（t+2）2+6=t-2，再解方程即可；当t＞2时，利用同样方法求对应t的值．

（1）把（0，0）绕点（2，0）旋转180°得到点的坐标为（4，0）；把（-1，-1）绕点（2，0）旋转180°得到点的坐标为（5，1）；

（2）把（3，4）绕点（t，0）旋转180°得到点的坐标为（2t-3，-4）； ，

故点（3,4)的“发展点”的横坐标为2t-3；

（3）设点P的坐标为（m，2m+6），则点Q的坐标为（2t-m，-2m-6）．

把（2t-m，-2m-6）代入y=2x-8，得2（2t-m）-8=-2m-6，解得t=．

∴点T的坐标为（，0）．

（4）把（3，3）代入y= -x2+k得，-32+k=3，解得k=12．

∴抛物线所对应的函数表达式为y= -x2+12．

∵△PMQ是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，T为PQ的中点，

∴△PTM是以点T为直角顶点的等腰直角三角形．

当0＜t≤3时，点M的坐标可表示为（t+3，t-3），代入y= -x2+12得，

-（t+3）2+12=t-3，

解得t1= ，t 2=（不合题意，舍去）．

当t＞3时，点M的坐标可表示为（t-3，3-t），代入y=-x2+12得，

-（t-3）2+12=3-t，解得t1=0（不合题意，舍去），t2=7．

综上, t= 或t=7．