Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36º，CE平分∠ACB交AB于点E．

(1)试说明点E为线段AB的黄金分割点；

(2)若AB=4，求BC的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

试题（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB=72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE=36°，从而得到∠BCE=∠A，然后判定△ABC和△CBE相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；

（2）根据等角对等边的性质可得AE=CE=BC，再根据黄金分割求解即可．

试题解析：（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ACB=（180°-36°）=72°，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE=∠ACB=×72°=36°，

∴∠BCE=∠A=36°，

∴AE=BC，

又∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△CBE，

∴，

∴BC2=AB•BE，

即AE2=AB•BE，

∴E为线段AB的黄金分割点；

（2）∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB=72°，

∴∠BEC=180°-72°-36°=72°，

∴BC=CE，

由（1）已证AE=CE，

∴AE=CE=BC，

∴BC=•AB=×4=2-2．