Question

若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)=m有实数根x₁，x₂，且x₁≠x_2．

(1)求m的取值范围；

(2)如果这个方程的两个实根分别为x₁=α，x₂=β，且α＜β，当m＞0时，试比较α，β，2，3的大小，并用“＜”连接；

(3)求二次函数y=(x－x₁)(x－x₂)＋m的图像与x轴的交点坐标．

Answer

（1）m＞-；（2）α＜2＜3＜β；（3）（2，0）和（3，0）．

【解析】

⑴一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，

∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，

解得m＞

⑵令m=0，则函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），故此函数的图象为：

∵m＞0，

∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，
∴α＜1，β＞2．

根据求根公式,因为m＞0.∴

即 ；

⑶因为一元二次方程有实数根，且≠，

所以该一元二次方程可以写成或者

即：

所以可以表示成

即：，所求二次函数的图像与x轴的交点坐标为（2，0）和（3， 0）.