Question

如图，矩形ABCD中，∠ABC=90º，AB=6cm，BC=8cm，动点P从点C出发，在线段AC上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点B出发，在BC边上以每秒4cm的速度向点C匀速运动，动点E从点D出发，在DA边上以每秒4cm的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)．

(1)若△CDE与△ADC相似，求t的值．

(2)连接AQ，BP，CE，若BP⊥CE，求t的值；

(3)当PQ长度取得最小值时，求t的值．

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题（1）由题意可得CD2=DE•DA，即36=4t×8，解方程即可．

（2）如图1中，作PM⊥BC于M．由△PMB∽△QBA，得，由CP=5t，CM=4t，PM=3t，可得方程，解方程即可．

（3）根据PQ=，利用二次函数的性质即可解决问题．

试题解析：（1）∵0＜t＜2，

∴点E与点A不重合，

∵△CDE与△ADC相似，

∴∠DCE=∠DAC，

∴，

CD2=DE•DA，即36=4t×8，

解得t=s．

（2）如图1，

∵DE=BQ=4t，AD=BC，AD∥BC

∴AE=CQ，AE∥CQ，

∴四边形AECQ为平行四边形，

∴CE∥AQ，过点P做PM⊥CB于点M，

∵BP⊥CE，CE∥AQ，

∴BP⊥AQ，

∴∠ABP+∠PBM=90°，∠BAQ+∠PBA=90°，

∴∠BAQ=∠PBM，∵∠ABQ=∠PMB=90°．

∴△PMB∽△QBA，

∴，

∵CP=5t，CM=4t，PM=3t，

∴，

所以t=s．

（3）如图2，

在Rt△PMQ中，PQ=，

所以当t=-s时，PQ可以取得最小值．