Question

观察下列运算并填空．

1×2×3×4＋1＝24＋1＝25＝5²；

2×3×4×5＋1＝120＋1＝121＝11²；

3×4×5×6＋1＝360＋1＝361＝19²；

4×5×6×7＋1＝840＋1＝841＝29²；

7×8×9×10＋1＝5040＋1＝5041＝71²；

……

试猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)＋1＝________².

Answer

n2+5n+5

【解析】

观察几个算式可知，结果都是完全平方式，且5=1×4+1，11=2×5+1，19=3×6+1，…，由此可知，最后一个式子为完全平方式，且底数=（n+1）（n+4）+1=n2+5n+5．

根据算式的规律可得：(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=(n2+5n+5)2.

故答案为：n2+5n+5.