Question

如图，⊙O为等腰△ABC的外接圆，直径AB=12，P为上任意一点（不与B，C重合），直线CP交AB延长线于点Q，⊙O在点P处切线PD交BQ于点D，下列结论：①若∠PAB=30°，则的长为π；②若PD∥BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则PD=6；④无论点P在上的位置如何变化，CP•CQ为定值．其中正确的是________________．（写出所有正确结论的序号）

Answer

②③④

【解析】

①根据∠POB=60°，OB=6，即可求得弧的长；②根据切线的性质以及垂径定理，即可得到，据此可得AP平分∠CAB；③根据BP=BO=PO=6，可得△BOP是等边三角形，据此即可得出PD=6；④判定△ACP∽△QCA，即可得到，即CP•CQ=CA2，据此可得CP•CQ为定值．

如图，连接OP，

∵AO=OP，∠PAB=30°，

∴∠POB=60°，

∵AB=12，

∴OB=6，

∴弧的长为=2π，故①错误；

∵PD是⊙O的切线，

∴OP⊥PD，

∵PD∥BC，

∴OP⊥BC，

∴，

∴∠PAC=∠PAB，

∴AP平分∠CAB，故②正确；

若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，

∵OP⊥PD，

∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，

∴∠BOP=∠BPO，

∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，

∴PD=OP=6，故③正确；

∵AC=BC，

∴∠BAC=∠ABC，

又∵∠ABC=∠APC，

∴∠APC=∠BAC，

又∵∠ACP=∠QCA，

∴△ACP∽△QCA，

∴，即CP•CQ=CA2（定值），故④正确；

故答案为：②③④．