Question

在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x₁，y₁），点Q的坐标为（x₂，y₂），且x₁≠x₂，y₁≠y₂．若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，下图①为点P，Q的“相关矩形”的示意图．

已知点A的坐标为（1，0），

（1）若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；

（2）点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

（3）若点D的坐标为（4，2），将直线y＝2x+b平移，当它与点A，D的“相关矩形”没有公共点时，求出b的取值范围．

Answer

（1）2；（2）或；（3）或

【解析】

（1）由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；

（2）由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45，设直线AC的解析式为；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；

（3）分别把点A、D点的坐标代入y=2x+b±2，求得b的数值即可．

（1）∵A（1，0），B（3，1）

由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，

∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；

（2）由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，

又∵点A，C的“相关矩形”为正方形

∴直线AC与x轴的夹角为45°，

设直线AC的解析为：y=x+m或y=-x+n

把（1，0）分别y=x+m，

∴m=-1，

∴直线AC的解析为：y=x-1，

把（1，0）代入y=-x+n，

∴n=1，

∴y=-x+1，

综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x-1或y=-x+1；

（3）把A（1，0），D（4，2）分别代入y=2x+b±2，

得出b=0，或b=-8，

∴b＞0或b＜-8