Question

如图，已知抛物线 经过 、 两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；

（3）如图，已知点N在抛物线上，且 .

①求出点N的坐标；

②在（2）的条件下，直接写出所有满足 的点P的坐标.

Answer

（1）；（2）D点坐标为(2,-2) ；（3）①点N的坐标为，②点P的坐标为 或 .

【解析】

（1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；

（2）根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；

（3）①设点N（n，n+3），又点N在抛物线y=x2-3x上，代入抛物线的解析式即可求出n的值，进而得到N的坐标；

②首先求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．

（1） 抛物线 经过点 ， .

解得：

抛物线的解析式是

（2）设直线OB的解析式为 ，由点 ，

得： ，解得 .

直线OB的解析式为

直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为： .

点D在抛物线 上.

可设 .

又点D在直线上，

，即 .

抛物线与直线只有一个公共点，

，解得：

此时 ， ，

点坐标为(2,-2)

（3）①∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），

∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），

根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，

设直线A′B的解析式为y=k2x+3，过点（4，4），

∴4k2+3=4，解得：k2=，

∴直线A′B的解析式是y=x+3，

∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，

∴BA′和BN重合，

即点N在直线A′B上，

∴设点N（n，n+3），又点N在抛物线y=x2-3x上，

∴=n2-3n，

解得：n1=-，n2=4（不合题意，舍去）

∴N点的坐标为（-，）．

②如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，

由①可知：N1 （-，-），B1（4，-4）．

∴O、D、B1都在直线y=-x上．

过D点做DP1∥N1B1，

∵△P1OD∽△NOB，

∴△P1OD∽△N1OB1，

∴P1为O N1的中点．

∴，

∴点P1的坐标为（-，-）．

将△P1OD沿直线y=-x翻折，可得另一个满足条件的点到x轴距离等于P1到y轴距离，点到y轴距离等于P1到x轴距离，

∴此点坐标为：（，）．

综上所述，点P的坐标为（-，-）和（，）．