Question

如图，在△ABC中，点O在BC边上，以OC为半径作⊙O，与AB切于点D，与边BC，AC分别交于点E，F，且弧DE＝弧DF．

（1）求证：△ABC是直角三角形．

（2）连结CD交OF于点P，当cos∠B＝时，求的值．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接OD，根据圆周角定理得出∠ACD＝∠BCD，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC，即可得到∠ODC＝∠ACD，得出OD∥CA，根据平行线的性质即可得出结论；

（2）连接EF，根据圆周角定理得出∠EFC＝90°，进而证得AB∥EF，平行线的性质得出∠CEF＝∠B，得出cos∠CEF＝cos∠B＝，设OC＝OD＝OE＝a，则EF＝a，即可求得CF＝a，由△PDO∽△PCF，即可证得＝＝ ．

（1）证明：如图，连接OD，

∵⊙O与AB切于点D，

∴OD⊥AB，

∴∠BDO＝90°，

∵弧DE＝弧DF．

∴∠ACD＝∠BCD，

∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∴∠ODC＝∠ACD，

∴OD∥CA，

∴∠BAC＝∠BDO＝90°，

∴△ABC是直角三角形；

（2）【解析】
连接EF，∵CE是直径，

∴∠EFC＝90°，

∴∠BAC＝∠EFC，

∴AB∥EF，

∴∠CEF＝∠B，

∴cos∠CEF＝cos∠B＝，

设OC＝OD＝OE＝a，则EF＝a，

∴CF＝a，

∵OD∥CF，

∴△PDO∽△PCF，

∴＝＝．