Question

如图，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C在y轴正半轴上，点B的坐标为（4，m）（5≤m≤7），反比例函数y＝（x＞0）的图象交边AB于点D．

（1）用m的代数式表示BD的长；

（2）设点P在该函数图象上，且它的横坐标为m，连结PB，PD

①记矩形OABC面积与△PBD面积之差为S，求当m为何值时，S取到最大值；

②将点D绕点P逆时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在x轴上时，求m的值．

Answer

（1）BD＝m﹣4（2）①m＝7时，S取到最大值②m＝2+2

【解析】

（1）先确定出点D横坐标为4，代入反比例函数解析式中求出点D横坐标，即可得出结论；

（2）①先求出矩形OABC的面积和三角形PBD的面积得出S＝﹣（m﹣8）2+24，即可得出结论；②利用一线三直角判断出DG＝PF，进而求出点P的坐标，即可得出结论．

【解析】
（1）∵四边形OABC是矩形，

∴AB⊥x轴上，

∵点B（4，m），

∴点D的横坐标为4，

∵点D在反比例函数y＝上，

∴D（4，4），

∴BD＝m﹣4；

（2）①如图1，∵矩形OABC的顶点B的坐标为（4，m），

∴S矩形OABC＝4m，

由（1）知，D（4，4），

∴S△PBD＝（m﹣4）（m﹣4）＝（m﹣4）2，

∴S＝S矩形OABC﹣S△PBD＝4m﹣（m﹣4）2＝﹣（m﹣8）2+24，

∴抛物线的对称轴为m＝8，

∵a＜0，5≤m≤7，

∴m＝7时，S取到最大值；

②如图2，过点P作PF⊥x轴于F，过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G，

∴∠DGP＝∠PFE＝90°，

∴∠DPG+∠PDG＝90°，

由旋转知，PD＝PE，∠DPE＝90°，

∴∠DPG+∠EPF＝90°，

∴∠PDG＝∠EPF，

∴△PDG≌△EPF（AAS），

∴DG＝PF，

∵DG＝AF＝m﹣4，

∴P（m，m﹣4），

∵点P在反比例函数y＝，

∴m（m﹣4）＝16，

∴m＝2+2或m＝2﹣2（舍）．