Question

某超市为了销售一种新型“吸水拖把”，对销售情况作了调查，结果发现每月销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数关系，所调查的部分数据如表：（已知每只进价为10元，销售单价为整数，每只利润＝销售单价﹣进价）

销售单价x（元）	20	22	25	…
月销售额y（只）	300	280	250	…

（1）求出y与x之间的函数表达式

（2）该新型“吸水拖把”每月的总利润为w（元），求w关于x的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？

（3）由于该新型“吸水拖把”市场需求量较大，厂家又进行了改装，此时超市老板发现进价提高了m元，当每月销售量与销售单价仍满足上述一次函数关系，随着销量的增大，最大利润能减少1750元，求m的值．

Answer

（1）y＝﹣10x+500（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元（3）10

【解析】

（1）待定系数法求函数解析式．（2）总利润＝单件利润×总销售量，先表示出w，再根据二次函数求最值问题进行配方即可．（3）含参数的二次函数问题，先表示出w，根据最大利润列式即可求出m．

（1）设y＝kx+b（k≠0），

根据题意代入点（20，300），（25，250），

∴

解得 ，

∴y＝﹣10x+500．

（2）依题意得，w＝（x﹣10）（﹣10x+500）＝﹣10x2+600x﹣5000＝﹣10（x﹣30）2+4000，

∵a＝﹣10＜0，

∴当x＝30时，w有最大值4000，

即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000元．

（3）最新利润可表示为﹣102+600x﹣5000﹣m（﹣10x+500）＝﹣10x2+（600+10m）x﹣5000﹣500m，

∴此时最大利润为 ＝4000﹣1750，

解得m1＝10，m2＝70，

∵当m＝70时，销量为负数舍去．

∴m＝10．