Question

如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，交BA的延长线于点F，若弧EF的长为π，则图中阴影部分的面积为______．

Answer

8﹣2π

【解析】

连结AC，如图，设半径为r，先根据切线的性质得∠ACD=90°，再根据平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，则∠CAF=90°，∠1=∠B，∠2=∠3，利用∠B=∠3易得∠1=∠2=45°，则根据弧长公式求得r=4，然后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S△ACD﹣S扇形CAE进行计算即可．

连结AC，如图，设半径为r．

∵AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，∴AC⊥CD，∴∠ACD=90°．

∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CAF=90°，∠1=∠B，∠2=∠3，而AB=AC，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2=45°．

∵的长为π，∴π，解得：r=4．

在Rt△ACD中，∵∠2=45°，∴AC=CD=4，∴S阴影部分=S△ACD﹣S扇形CAE4×48﹣2π．

故答案为：8﹣2π．