Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

（1）求证：∠DAC=∠DBA；

（2）求证：P是线段AF的中点；

（3）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）2.5，2.4．

【解析】试题（1）利用角平分线的性质得出∠CBD=∠DBA，进而得出∠DAC=∠DBA；

（2）利用圆周角定理得出∠ADB=90°，进而求出∠PDF=∠PFD，则PD=PF，求出PA=PF，即可得出答案；

（3）利用勾股定理得出AB的长，再利用三角形面积求出DE即可．

试题解析：（1）∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，

∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA；

（2）∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

∵DE⊥AB于E，

∴∠DEB=90°，

∴∠1+∠3=∠5+∠3=90°，

∴∠1=∠5=∠2，

∴PD=PA，

∵∠4+∠2=∠1+∠3=90°，且∠ADB=90°，

∴∠3=∠4，

∴PD=PF，

∴PA=PF，即P是线段AF的中点；

（3）连接CD，

∵∠CBD=∠DBA，

∴CD=AD，

∵CD﹦3，∴AD=3，

∵∠ADB=90°，

∴AB=5，

故⊙O的半径为2.5，

∵DE×AB=AD×BD，

∴5DE=3×4，

∴DE=2.4．

即DE的长为2.4．