如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A，C（A在C的左侧），点B在抛...

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝与x轴交于A，C（A在C的左侧），点B在抛物线上，其横坐标为1，连接BC，BO，点F为OB中点．

（1）求直线BC的函数表达式；

（2）若点D为抛物线第四象限上的一个动点，连接BD，CD，点E为x轴上一动点，当△BCD的面积的最大时，求点D的坐标，及|FE﹣DE|的最大值；

（3）如图2，若点G与点B关于抛物线对称轴对称，直线BG与y轴交于点M，点N是线段BG上的一动点，连接NF，MF，当∠NFO＝3∠BNF时，连接CN，将直线BO绕点O旋转，记旋转中的直线BO为B′O，直线B′O与直线CN交于点Q，当△OCQ为等腰三角形时，求点Q的坐标．

（1）y＝﹣x+；（2）D（，﹣）；|FE﹣DE|的最大值为；（3）点Q的坐标为Q1（，），Q2（，），Q3（﹣，），Q4（+，﹣）．【解析】（1）令抛物线y＝0，求出点C的坐标，再令x＝1，求出点B坐标，待定系数法求出直线BC的解析式；（2）三角形面积最值转换成求DH的最大值，然后利用二次函数的求最值问题解决点D的坐标，|FE−DE|的最大值，可将点D和点F转换到x轴的同一侧，再利用共线时差值最大求出线段长度即可．（3）找等腰三角形问题，要分类讨论，以OC为腰，或以OC为底都可以，利用∠OCN的正切值求出边之间的比例关系，求出点Q的坐标．（1）令y＝0，解得x1＝，x2＝， ∴A（，0），B（，0）当x＝1时，y＝2 ∴B（1，2）设直线BC的解析式为y＝kx+b代入点B和C ，解得 ∴直线BC的解析式为y＝; （2）设点D（m，）过点D作x轴的平行线，交BC于点H，则点H（m，﹣m+） HD＝﹣m+﹣（）＝﹣（m﹣）2+ ∴当m＝时，HD取最大值，此时S△BCD的面积取最大值． D（，）作D关于x轴的对称点D′ 则D′（，）连接D′H交x轴于一点E，此时D′E﹣FE最大，即为D′F的长度 ∵F为OB的中点 ∴F（，） ∴D′F＝ ∴|FE﹣DE|的最大值为．（3）由题意可知M（0，2） ∵∠NFO＝3∠BNF ∴∠FBN＝2∠BNF 作∠FBN的角平分线交x轴于点E 则∠OBE＝∠EBG＝∠OEB＝∠BNF 过点B作x轴的垂线，垂足为点J 则J（1，0） ∵OB＝＝3 ∴OE＝3 ∴EJ＝2 ∵BJ＝2 ∴tan∠BEJ＝， ∴tan∠BNF＝，过点F作MN的垂线，垂足为D 则FD＝， ∴ND＝1 ∴N（，2）连接NC ∵tan∠NCO＝ ①当OQ1等于CQ1时，过点Q1作OC的垂线，垂足为I ∵OC＝ ∴CI＝ ∴Q1I＝ ∴Q1（，） ②当OC＝CQ3时，过点Q3作OC的垂线，垂足为K ∵OC＝，∴CQ3＝， CK＝，Q3K＝ ∴Q3（，） ③当OQ2＝OC时，过点Q2作OC的垂线，垂足为P ∵OC＝3，∴OQ2＝3 设PC＝a，则Q2P＝a，OP＝﹣a 根据勾股定理解得a＝ ∴Q2（，） ④当Q4在NC的延长线上时，CQ4＝OC 同理可得，Q4（，）综上所述：点Q的坐标为Q1（，），Q2（，），Q3（，），Q4（，，）．

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