Question

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，8），点B（m，0），且m＞0.把△AOB绕点A逆时针旋转90°，得△ACD，点O，B旋转后的对应点为C，D，

（1）点C的坐标为       ；

（2）①设△BCD的面积为S，用含m的式子表示S，并写出m的取值范围；

②当S=6时，求点B的坐标（直接写出结果即可）.

Answer

（1）C（8，8）；（2）①S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②点B的坐标为（4+2，0）或（2，0）或（6，0）.

【解析】

（1）由旋转的性质得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；

（2）①由旋转的性质得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，证出四边形OACE是矩形，得出DE⊥x轴，OE＝AC＝8，分三种情况：

a、当点B在线段OE的延长线上时，得出BE＝OB−OE＝m−8，由三角形的面积公式得出S＝0.5m2−4m（m＞8）即可；

b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，BE＝OE−OB＝8−m，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；

c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；

②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；

当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．

（1）∵点A（0，8），∴AO=8，

∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），

故答案为：（8，8）；

（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，

∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，

∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，

∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，

分三种情况：

a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：

则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；

b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：

则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；

c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；

综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；

②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：m=4±2（负值舍去），∴m=4+2；

当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，

∴点B的坐标为（4+2，0）或（2，0）或（6，0）.