Question

在平面直角坐标系中，抛物线y＝交x轴于点A、B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．

（1）如图，点D是抛物线在第二象限内的一点，且满足|x_D﹣x_A|＝2，过点D作AC的平行线，分别与x轴、射线CB交于点F、E，点P为直线AC下方抛物线上的一动点，连接PD交线段AC于点Q，当四边形PQEF的面积最大时，在y轴上找一点M，x轴上找一点N，使得PM+MN﹣NB取得最小值，求这个最小值；

（2）如图2，将△BOC沿着直线AC平移得到△B′O′C′，再将△B'O′C′沿B′C′翻折得到△B′O″C′，连接BC′、O″B，则△C′BO″能否构成等腰三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点O″的坐标，若不能，请说明理由．

Answer

（1）P′W＝3；（2）点O″的坐标为（﹣，）或（，）或（，）．

【解析】

1）根据|xD﹣xA|＝2，求出点D的坐标，转换四边形PQEF的面积最大即为线段PH最大，PM+MN﹣NB取得最小值，将这三条线段转化为共线即可．

（2）设点O′、B′、C′的坐标，求出点O″的坐标，利用两点间距离公式表示线段长度，分三种情况讨论即可．

（1）令＝0，

解得x1＝，x2＝﹣4，

∴A（﹣4，0），B（，0），

令x＝0，y＝﹣2，

∴C（0，﹣2），

∵|xD﹣xA|＝2，点D是抛物线在第二象限内的一点，

∴D的横坐标为﹣6，

∴D（﹣6，7），

设直线BC的解析式为y＝kx+b，

则有

解得

∴直线BC的解析式为y＝2x﹣2，

设直线AC的解析式为y＝k1x+b1，

则有

解得

∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2，

∵DE∥AC，

∴设直线DE的解析式为y＝﹣x+b2，代入点D（﹣6，7），

解得b2＝4，

∴直线DE的解析式为y＝﹣x+4，

令y＝0，此时x＝8，

∴F（8，0），

令2x﹣2＝﹣x+4，

解得x＝，

∴E（，），

∵S四边形PQEF＝S△PDF﹣S△PQE＝S△PDF﹣S△DAE，

∵D、A、E是固定点，

∴S△DAE是固定值，即要使四边形PQEF的面积最大，只需△PDF的面积最大，

如图1所示，

过点P作x轴的垂线交DF于点H，则S△PDF＝PH•|xF﹣xD|＝7PH，

∴当PH最大时，S△PDF最大，

设点P的坐标为（a，a2+a﹣2），则点H为（a，﹣ a+4），

∴PH＝﹣a2﹣2a+6＝﹣（a+2）2+8，

∴当a＝﹣2时，PH最大，

此时P（﹣2，﹣3），

作点P关于y轴的对称点P′（2，﹣3），

过点B作直线l：y＝x﹣，

过点P′作直线l的垂线交l于点W，交y轴于点M，交x轴于点N，

∴NB＝NW，

∴PM+MN﹣NB＝PM+MN﹣NW＝P′N﹣NW＝P′W，

∴P′W即为所求，

过P′作y轴的平行线交l于点J，

则J（2，），

则JP′＝，

则P′W＝JP′＝3．

（2）设△BOC在水平方向上移动了2t个单位，则在竖直方向上移动了t个单位，

则C′（﹣2t，﹣2t+t），O′（﹣2t， t），

如图2所示，过O″作y轴的平行线交O′B′的延长线于点M，

O′O″＝2×× ＝，

∴O″M＝，O′M＝，

∴O″（﹣2t，﹣ +t），

∴C′B＝＝，

C′O″＝2，

O″B＝＝

①＝2，无解．

②＝，解得t＝-1，

∴O″（﹣，），

③＝2，解得t1＝，t2＝，

∴O″（，）或（，）．

综上所述：点O″的坐标为（﹣，）或（，）或（，）．