Question

已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF．

求证：DE=DF．

Answer

证明见解析.

【解析】

分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，利用在直角三角形中：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和已知条件证明四边形MDNC为平行四边形，再利用平行四边形的性质和已知条件证明△EMD≌△DNF即可．

证明：分别取AC、BC中点M、N，连接MD、ND，再连接EM、FN，

∵D为AB中点，∠AEC=90°，∠BFC=90°，

∴EM=AC，FN=BC，

∵D是△ABC中AB边上的中点，

∴DN是△ABC的中位线．

∴DN=AC，

∴EM=DN=AC，FN=MD=BC，

∵DN∥CM且DN=CM，

∴四边形MDNC为平行四边形，

∴∠CMD=∠CND．

∵∠EMC=∠FNC=90°，

∴∠EMC+∠CMD=∠FNC+∠CND，

即∠EMD=∠FND，

∴△EMD≌△DNF(SAS)．

∴DE=DF．