Question

通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，

①如图1，根据图中阴影部分的面积可表示为__________，还可表示为___________，可以得到的恒等式是___________.

②类似地，用两种不同的方法计算同一各几何体的体积，也可以得到一个恒等式，如图2是边长为的正方体，被如图所示的分割线分成8块。用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式是____________.

Answer

①（a+b）2-（a-b）2；4ab；（a+b）2-（a-b）2=4ab； ②（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．

【解析】

①根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是用大正方形面积-空白部分正方形面积；另一种是将阴影部分的四个长方形面积相加，可得等式（a+b）2-（a-b）2=4ab；

②根据体积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是将大正方体棱长表示出来求体积；另一种是将各个小的长方体体积加起来，可得等式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．

【解析】
①∵阴影部分的面积=大正方形的面积-中间小正方形的面积即：（a+b）2-（a-b）2，

又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成 即：4ab，

∴（a+b）2-（a-b）2=4ab；

故答案为：（a+b）2-（a-b）2；4ab；（a+b）2-（a-b）2=4ab；

②∵八个小正方体和长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，

∴（a+b）3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，

∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；

故答案为：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3．