Question

如图①，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图①的图形称之为“8字形”．

（1）如图①，若∠A=∠D,判断∠C与∠B的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试解答下列问题：

①仔细观察，在图②中有      个“8字形”；

②∠B=80°，∠C=100°，求∠P的度数．

Answer

（1）∠C=∠B（2）①6②90

【解析】

（1）利用三角形的内角和定理表示出∠AOD与∠BOC，再根据对顶角相等可得∠AOD＝∠BOC，然后整理即可得解；

（2）①根据“8字形”的结构特点，根据交点写出“8字形”的三角形，然后确定即可；

②根据三角形的内角和定理求出∠ODB−∠OAC，再根据角平分线的定义求出∠CAM＋∠C−∠PDM，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解；

【解析】
（1）在△AOC中，∠AOC＝180°−∠A−∠C，

在△BOD中，∠BOD＝180°−∠B−∠D，

∵∠AOC＝∠BOD（对顶角相等），

∴180°−∠A−∠C＝180°−∠B−∠D，

∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C；

∵∠A=∠D,

∴∠C=∠B.

故答案为：∠C=∠B.

（2）①交点有点M、O、N，

以M为交点有1个，为△AMC与△DMP，

以O为交点有4个，为△AOC与△DOB，△AOM与△DON，△AOM与△DOB，△DON与△AOC，

以N为交点有1个，为△ANP与△DNB，

所以，“8字形”图形共有6个；

∵∠C＝100°，∠B＝80°，

∴∠OAC＋100°＝∠ODB＋80°，

∴∠ODB−∠OAC＝20°，

∵AP、DP分别是∠CAB和∠BDC的角平分线，

∴∠CAM＝∠OAC，∠PDM＝∠ODB，

又∵∠CAM＋∠C＝∠PDM＋∠P，

∴∠P＝∠CAM＋∠C−∠PDM＝（∠OAC−∠ODB）＋∠C＝×（−20°）＋100°＝90°；