Question

已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．

（1）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；

（2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；

（3）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，且使B′D//OB，求此时点C的坐标．

 

Answer

(1) C（0，）；（2）y＝﹣x2+2，y的取值范围是≤y≤2． （3）C的坐标是（0，﹣16+8）

【解析】

（1）因为折叠后点B与点A重合，那么BC=AC，可先设出C点的坐标，然后表示出BC，AC，在直角三角形OCA中，根据勾股定理即可求出C点的纵坐标，也就求出了C点的坐标；

（2）方法同（1）用OC表示出BC，B′C然后在直角三角形OB′C中根据勾股定理得出x，y的关系式．由于B′在OA上，因此有0≤x≤2，由此可求出y的取值范围；

（3）根据（1）（2）的思路，应该先得出OB″，OC的关系，知道OA，OB的值，那么可以通过证Rt△COB″∽Rt△BOA来实现．∠B″CO和∠CB″D是平行线B″D，OB的内错角，又因为∠OBA=∠CB″D，因此∠B″CO=∠OBA，即CB″∥BA，由此可得出两三角形相似，得出OC，OB″的比例关系，然后根据（1）（2）的思路，在直角三角形OB″C中求出OC的值，也就求出C点的坐标了．

（1）如图①，折叠后点B与点A重合，则△ACD≌△BCD．

设点C的坐标为（0，m）（m＞0），则BC=OB-OC=4-m．

∴AC=BC=4-m．

在Rt△AOC中，由勾股定理，AC2=OC2+OA2，

即（4-m）2=m2+22，解得m=．

∴点C的坐标为（0，）；

（2）如图②，折叠后点B落在OA边上的点为B′，

∴△B′CD≌△BCD．

∵OB′=x，OC=y，

∴B′C=BC=OB-OC=4-y，

在Rt△B′OC中，由勾股定理，得B′C2=OC2+OB′2．

∴（4-y）2=y2+x2，

即y=-x2+2．

由点B′在边OA上，有0≤x≤2，

∴解析式y=-x2+2（0≤x≤2）为所求．

∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，

∴y的取值范围为≤y≤2；

（3）如图③，折叠后点B落在OA边上的点为B″，且B″D∥OC．

∴∠OCB″=∠CB″D．

又∵∠CBD=∠CB″D，

∴∠OCB″=∠CBD，

∵CB″∥BA．

∴Rt△COB″∽Rt△BOA．

∴，

∴OC=2OB″．

在Rt△B″OC中，

设OB″=x0（x0＞0），则OC=2x0．

由（2）的结论，得2x0=-x02+2，

解得x0=-8±4．

∵x0＞0，

∴x0=-8+4．

∴点C的坐标为（0，-16+8）．