Question

如图，已知，点分别在上，且，将射线绕点逆时针旋转得到，旋转角为，作点关于直线的对称点，画直线交于点，连接，，有下列结论：

①；                                    ②的大小随着的变化而变化；

③当时，四边形为菱形；             ④面积的最大值为；

其中正确的是_____________.（把你认为正确结论的序号都填上）.

Answer

①③④

【解析】

①根据对称的性质：对称点的连线被对称轴垂直平分可得：OM'是AC的垂直平分线，再由垂直平分线的性质可作判断；

②作⊙O，根据四点共圆的性质得：∠ACD=∠E=60°，说明∠ACD是定值，不会随着α的变化而变化；

③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，证明△AOC是等边三角形和△ACD是等边三角形，得OC=OA=AD=CD，可作判断；

④先证明△ACD是等边三角形，当AC最大时，△ACD的面积最大，当AC为直径时最大，根据面积公式计算后可作判断．

【解析】
①∵A、C关于直线OM'对称，

∴OM'是AC的垂直平分线，

∴CD=AD，

故①正确；

②连接OC，由①知：OM'是AC的垂直平分线，

∴OC=OA，

∴OA=OB=OC，

以O为圆心，以OA为半径作⊙O，交AO的延长线于E，连接BE，

则A、B、C都在⊙O上，

∵∠MON=120°，

∴∠BOE=60°，

∵OB=OE，

∴△OBE是等边三角形，

∴∠E=60°，

∵A、C、B、E四点共圆，

∴∠ACD=∠E=60°，

故②不正确；

③当α=30°时，即∠AOD=∠COD=30°，

∴∠AOC=60°，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠OAC=60°，OC=OA=AC，

由①得：CD=AD，

∴∠CAD=∠ACD=∠CDA=60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴AC=AD=CD，

∴OC=OA=AD=CD，

∴四边形OADC为菱形，

故③正确；

④∵CD=AD，∠ACD=60°，

∴△ACD是等边三角形，

当AC最大时，△ACD的面积最大，

∵AC是⊙O的弦，即当AC为直径时最大，此时AC=2OA=2a，α=90°，

∴△ACD面积的最大值是：AC2=，

故④正确；

所以本题结论正确的有：①③④，

故答案为：①③④．