Question

如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x²+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以 个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．

   

（1）求抛物线的解析式；   

（2）当t为何值时，△APQ为直角三角形；   

（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标．

Answer

（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=1或t=时，△PQA是直角三角形；（3）点F的坐标为（2，3）．

【解析】

试题（1）先利用直线解析式确定A点和B点坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）OP=t，AQ=t，则PA=3-t，先判断∠QAP=45°，讨论：当∠PQA=90°时，如图①，利用等腰直角三角形的性质得PA=AQ，即3-t=•t；当∠APQ=90°时，如图②，利用等腰直角三角形的性质得AQ=AP，即t=•（3-t），然后分别解关于t的方程即可；

（3）如图③，延长FQ交x轴于点H，设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），易得△AQH为等腰直角三角形，则AH=HQ=AQ=t，则可表示出点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为[3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3）]，所以FQ=-t2+3t，再证明四边形PQFE为平行四边形得到EP=FQ．即3-t=3t-t2，然后解方程求出t即可得到点F的坐标.

试题解析：（1）∵y=﹣x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0），当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）．

∵将A（3，0），B（0，3）代入得：，解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°，

∴∠QAP=45°．

如图①所示：∠PQA=90°时．

设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中，，即．

解得：t=1．

如图②所示：∠QPA=90°时．

设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3﹣t．

在Rt△PQA中，，即．

解得：t=．

综上所述，当t=1或t=时，△PQA是直角三角形．

（3）如图③所示：

设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，﹣t+3），则EP=3﹣t．点Q的坐标为（3﹣t，t），点F的坐标为（3﹣t，﹣（3﹣t）2+2（3﹣t）+3），即F（3﹣t，4t﹣t2），则FQ=4t﹣t2﹣t=3t﹣t2．

∵EP∥FQ，EF∥PQ，

∴四边形EFQP为平行四边形．

∴EP=FQ，即3﹣t=3t﹣t2．

解得：t1=1，t2=3（舍去）．

将t=1代入得点F的坐标为（2，3）．