Question

已知，，直线经过点，作，垂足为，连接.

（感知）如图①，点、在同侧，且点在右侧，在射线上截取，连接，可证，从而得出， ，进而得出         度．

（探究）如图②，当点、在异侧时，（感知）得出的的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出的大小.

（应用）在直线绕点旋转的过程中，当 ，时，直接写出的长.

Answer

45；不改变，证明见解析；或.

【解析】

[感知]证明△BCD≌△ECA（SAS）  即可解决问题

[探究]结论不变，证明△BCD≌△ECA（SAS）  即可解决问题．

[应用]分两种情形分别求解即可解决问题．

[感知]，如图1中，在射线AM上截取AE=BD，连结CE．

∵AC⊥DC，DB⊥MN，

∴∠ACD=∠DBA=90°．

∴∠CDB+∠CAB=180°，

∵∠CAB+∠CAE=180°

∴∠D=∠CAE，∵CD=AC，AE=BD，

∴△BCD≌△ECA（SAS），

∴BC=EC，∠BCD=∠ECA，

∵∠ACE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠DCB=90°，

即∠ECB=90°，

∴∠ABC=45°．

故答案为45

[探究]不改变．理由如下：

如图，如图2中，在射线AN上截取AE=BD，连接CE，设MN与CD交于点O．

∵AC⊥DC，DB⊥MN，

∴∠ACD=∠DBA=90°，

∵∠AOC=∠DOB，

∴∠D=∠EAC，CD=AC，

∴△BCD≌△ECA（SAS），

∴BC=EC，∠BCD=∠ECA，

∵∠ACE+∠ECD=90°，

∴∠ECD+∠DCB=90°，

即∠ECB=90°，

∴∠ABC=45°．

[拓展]如图①-1中，连接AD．

∴∠ACD+∠ABD=180°，

∴A，C，D，B四点共圆，

∴∠DAB=∠DCB=30°，

∴AB=BD=，

∴EB=AE+AB=+，

∵△ECB是等腰直角三角形，

∴BC=．

如图②中，同法可得BC=-1．

综上所述，BC的长为+1或-1．