Question

在平面直角坐标系中，函数的图像记为，函数的图像记为，其中为常数，且，图像、，合起来得到的图像标记为.

（1）求图像与轴的交点坐标.

（2）当图像的最低点到轴距离为3时，求的值.

（3）当时，若点在图像上，求的值.

（4）点、的坐标分别为、，连接与图像有两个交点时的取值范围.

Answer

（1）（）；（2）；（3）或；（4），，．

【解析】

（1）令M1的函数值等于0，即求出x的两个解，取正数解．

（2）因为提到“最低点”，所以函数图象M1对应的抛物线开口向上，a＞0，令顶点纵坐标=3即求出a的值．

（3）把点在图象M1或图象M2进行分类讨论，把a=1和y=-代入解析式即求出m的值．

（4）把a＞0和a＜0时图象M的大致草图画出，根据图象观察和计算说明线段PQ所在位置对交点个数的影响，得到a的范围．

（1）当ax2-2ax-4a=0时，

∵a≠0，

∴x2-2x-4=0

解得：x1=1+，x2=1-

∵x≥0，

∴图象M1与x轴的交点坐标为（1+，0）

（2）∵y=ax2-2ax-4a=a（x-1）2-5a，且图象M1的最低点到x轴距离为3

∴a＞0，

∴|-5a|=3，即-5a=-3

∴a=

（3）当a=1时，点（m，−）在图象M上，

①若点在图象M1上，即m≥0，m2−2m−4＝−

解得：m1=1+，m2=1-（舍去）

②若点在图象M2上，即m＜0，−m2−2m+4＝−

解得：m3=-1+（舍去），m4=-1-

综上所述，m的值为1+或-1-

（4）若a＞0，则图象M的大致形状如图1，

①若线段PQ经过图象M1的顶点（1，-5a）

则-5a=-1，得a=

对于图象M2，-x2-x+=-1时，解得：x1=-1+（舍去），x2=-1-

∵-1-＞-5

∴直线PQ与图象M2的交点在点P的右侧

∴线段PQ与图象M2有一个交点

∴a=时，线段PQ与图象M有两个交点

②若线段PQ比图象M1与y轴交点高时，如图2，

则-4a＜-1，解得：a＞

若a＜0，则图象M的大致形状如图3，

③若线段PQ经过M2与y轴交点时，4a=-1   得a=−，

对于图象M1，-x2+x+1=-1时，解得：x1=-2（舍去），x2=4，

即此时线段PQ与图象M1交点为Q（4，-1），

∴当线段PQ比图象M2与y轴交点低时，与图象M2有两个交点，与图象M1没有交点，

最低不得低过图象M2的顶点（-1，5a），

∴5a＜-1，

解得：a＜−，

综上所述，线段PQ与图象M有两个交点时，a=或a＞或a＜−.