Question

已知直线AB∥CD．

（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　   　；

（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则 =　   　．

Answer

(1) ∠E=∠END﹣∠BME (2) ∠E+2∠NPM=180°（3）

【解析】（1）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.

（2）根据平行线的性质，三角形外角定理，角平分线的性质即可解答.

（3）根据平行线的性质和三角形外角定理即可解答.

（1）如图1，∵AB∥CD，

∴∠END=∠EFB，

∵∠EFB是△MEF的外角，

∴∠E=∠EFB﹣∠BME=∠END﹣∠BME，

（2）如图2，∵AB∥CD，

∴∠CNP=∠NGB，

∵∠NPM是△GPM的外角，

∴∠NPM=∠NGB+∠PMA=∠CNP+∠PMA，

∵MQ平分∠BME，PN平分∠CNE，

∴∠CNE=2∠CNP，∠FME=2∠BMQ=2∠PMA，

∵AB∥CD，

∴∠MFE=∠CNE=2∠CNP，

∵△EFM中，∠E+∠FME+∠MFE=180°，

∴∠E+2∠PMA+2∠CNP=180°，

即∠E+2（∠PMA+∠CNP）=180°，

∴∠E+2∠NPM=180°；

（3）如图3，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H，

∵AB∥CD，

∴∠CDG=∠AGE，

∵∠ABE是△BEG的外角，

∴∠E=∠ABE﹣∠AGE=∠ABE﹣∠CDE，①

∵∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，

∴∠ABM=∠ABE=∠CHB，∠CDN=∠CDE=∠FDH，

∵∠CHB是△DFH的外角，

∴∠F=∠CHB﹣∠FDH=∠ABE﹣∠CDE=（∠ABE﹣∠CDE），②

由①代入②，可得∠F=∠E，

即.