Question

定义：如果一个四边形存在一条对角线，使得这条对角线是四边形某两边的比例中项，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”．如图1，四边形ABCD中，AB=AC=AD，满足AC²=AB•AD，四边形ABCD是闪亮四边形，AC是亮线．

（1）以下说法正确的是______（填写序号）

①正方形不可能是闪亮四边形；

②矩形中存在闪亮四边形；

③若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是60°．

（2）如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=9，AB=12，CD=20，判断哪一条线段是四边形ABCD的亮线？请你作出判断并说明理由．

（3）如图3，AC是闪亮四边形ABCD的唯一亮线，∠ABC=90°，∠D=60°，AB=4，BC=2，请直接写出线段AD的长．

Answer

(1)①、③；(2)为四边形的亮线；(3).

【解析】

（1）根据闪亮四边形的定义一一判断即可．

（2）如图2中，作DH⊥BC于H．求出BD，AC即可判断．

（3）想办法证明△ADC是等边三角形即可解决问题．

【解析】
(1) ①设正方形的边长为a，则对角线长为a，

，

∴正方形不可能是闪亮四边形．故①正确

②如图①中，四边形ABCD是矩形，AE⊥AC于E，不妨设矩形是闪亮四边形．

则AC2=AD•CD，

，

∴DE=AC，

∵AC＞AD＞DE，显然与DE=AC矛盾，假设不成立，

∴矩形不可能是闪亮四边形，故②错误．

③如图②中，四边形ABCD是菱形，

∵四边形ABC都是闪亮四边形，

不妨设AC2=AD•CD，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=CD，

∴AC=AD=CD，

∴△ADC是等边三角形，

∴∠D=60°，

∴若一个菱形是闪亮四边形，则必有一个内角是60°．故③正确．

故答案为①③

(2)过点作于点，

∵，，∴

∴，∴四边形为矩形

∵，，

∴，，．

又∵，

∴，

此时，

∴，即为四边形的亮线．

(3) 如图3中，作CH⊥AD于H．

∵DH=CD•cos∠D，CH=CD•sin∠D，AH=AD-CD•cos∠D，

∴AC2=AH2+CH2=（AD-CD•cos∠D）2+（CD•sin∠D）2

=AD2+CD2-2AD•CD•cos∠D

=AD2+CD2-AD•CD，

∵AC2=AD•CD，

∴AD2-2AD•CD+CD2=0，

∴（AD-CD）2=0，

∴AD=CD，∵∠D=60°，

∴△ACD是等边三角形，

.