Question

如图1，等腰直角中，，过点，的圆交于点，交于点，连结.

(1)若，，分别求，的长

(2)如图2，连结，若，的面积为10，求．

(3)如图3，在圆上取点使得(点与点不重合)，连结，且点是的内心

①请你画出，说明画图过程并求的度数．

②设，，，若，求的内切圆半径长．

Answer

(1)DE=；CE=；(2)；(3)①画图见解析；∠CDF=135°；②的内切圆半径为2．

【解析】

（1）由A、C、E、D四点共圆可得∠ADE＝90°，然后求出DE、BE、BC，再根据CE=BC-BE即可得出答案；

（2）过点D作DH⊥CA于H，过点D作DG⊥CB于G G，设DG=x，根据45°等腰直角三角形性质可得DG=EG=BG=x，根据△ACD面积列出关于x的式子求出x值，再据此计算tan∠BCD；

（3）①过点画交的延长线于点，根据∠PFD＝∠CFD，∠PCD＝∠BCD，∠CPF＝90°即可求出∠CDF的度数；②过点D作DG⊥CB于G，则DG为△CPF内切圆半径，先求出△CDE∽△DBF，根据相似三角形性质可得，然后求出BD＝DE＝，即可得出△CPF的内切圆半径长.

【解析】
(1)∵，，

∴，

∵四边形内接于圆，

∴

∵，，

∴，．

∵，

∴．

∴．

(2)过点作于，过点作于 ，设，

∵，，

∴．

∴, ,

∵的面积为10，

∴，

解得，(舍去)

∴

(3)①∵，点为的内心，

∴如图，过点画交的延长线于点，

即为所求的三角形.

∵∠PFD＝∠CFD，∠PCD＝∠BCD，∠CPF＝90°

∴

=

②过点作于，则为内切圆半径

∵，，

∴

又∵，

∴

而，

∴．

∴，即

而

∴，

∴的内切圆半径为2．